Algebraic hyperstructures in the model theory of valued fields

Summary

In the literature, quantifier elimination for valued fields has been widely studied. It is well-known that algebraically closed valued fields admit quantifier elimination in their natural language. For p-adically closed fields MacIntyre showed that to eliminate quantifiers one has to extend the language of valued fields with the so-called power predicates. If we consider henselian valued fields of residue characteristic 0, then we have a result of Pas which states that quantifier elimination is achieved relative to the value group and the residue field; but for this an angular component map is needed. In 1991, Basarab introduced some structures which are associated to valued fields and relative to which it is possible to eliminate quantifiers for henselian valued fields of characteristic 0. Basarab's work was followed up by F.-V. Kuhlmann who introduced amc-structures. Later, Flenner noticed that Kuhlmann's approach can be simplified using what he called RV-structures. The main aim of this work is to describe a general framework where all these structures can be linked and better understood. In 1957 Krasner defined valued hyperfields. These are the structures that provide this general framework. Indeed, RV-structures are valued hyperfields. We extensively study the theory of valued hyperfields under a more general definition of valuation on a hyperfield than the one used by Krasner. Then we link the valued hyperfields associated to a valued field to several other structures which can be associated to a valued field. This investigation took into account the amc-structures as well as graded rings. We also study what happens to Krasner's valued hyperfields when an angular component map is present. We then link all the results on quantifier elimination for henselian valued fields of characteristic 0 using the technique of substructure completeness.

Streszczenie

Eliminacja kwantyfikatorów dla ciał z waluacją była szeroko badana w literaturze. Powszechnie znanym faktem jest, że algebraicznie domknięte ciała z waluacją mają własność eliminacji kwantyfikatorów w swoim naturalnym języku. Dla ciał p-adycznie domkniętych dla eliminacji kwantyfikatorów należy rozszerzyć język ciał z waluacją o tak zwane predykaty potęgowe, co zostało pokazane przez Macintyre'a. Rozważając ciała henselowskie z waluacją i ciałem reszt o charakterystyce 0, mamy wynik Pas'a, który mówi, iż w tym wypadku możemy otrzymać eliminację kwantyfikatorów po rozszerzeniu struktury o grupę wartości oraz ciało reszt, ale potrzebujemy do tego funkcji łukowej składowej. W 1991 Basarab zdefiniował struktury, o które możemy wzbogacić strukturę ciał z waluacją, celem uzyskania eliminacji kwantyfikatorów dla przypadku ciał henselowskich charakterystyki 0. Następnie, F.-V. Kuhlmann, podążając za wynikami Basarab'a, skonstruował amc-struktury. Natomiast Flenner zauważył, iż struktury wprowadzone przez F.-V. Kuhlmanna mogą zostać uproszczone, co zrobił wprowadzając RV-struktury. Głównym celem tej pracy jest opisanie ogólnej teorii, w której zostaną zbadane powyższe struktury i związki miedzy nimi. W 1957 Krasner zdefiniował hiperciała z waluacją, i to na nich bazuje ta ogólna teoria. Istotnie, struktury RV są hiperciałami z waluacją. W mojej pracy badam teorię hiperciał, używając bardziej ogólnej definicji waluacji na hiperciele, niż tej używanej przez Krasnera. Następnie przedstawiam związek hiperciał z waluacją stowarzyszonych z ciałami z waluacją z innymi strukturami, które mogą zostać stowarzyszone z ciałami z waluacją. W moich badaniach rozważałem amc-struktury oraz pierścienie z gradacją. Sprawdzam również co się dzieje z hiperciałami Krasnera z waluacją, gdy istnieje funkcja łukowej składowej. W końcu, łączę wszystkie wyniki na temat eliminacji kwantyfikatorów dla ciał henselowskich z waluacją o charakterystyce 0 używając techniki zupełności podstruktur.