Continuity of Roots and Values for Valued Fields

Summary

We study connections between polynomials which are close to each other, i.e., whose respective coefficients are close in the topology induced by a valuation. The basic principle of root continuity states that the closeness of polynomials implies the closeness of their roots under a suitable pairing. This principle is then built upon to specify precise bounds for the ultrametric distances between the polynomials and their respective roots. Further, one finds additional connections between polynomials that are sufficiently close to each other. For example, the irreducible factors of such polynomials generate extensions which are isomorphic over a given ground field, and the respective extensions coming from the polynomials in question have the same ramification theoretical invariants. Furthermore, if two polynomials are close to each other, then their Newton Polygons coincide along a certain interval. We study this aspect of continuity in detail by employing the well-known result that connects the values of roots of a polynomial with the slopes of its Newton Polygon. This allows us to give precise statements on the values of roots of polynomials which are close to each other and leads to further results on root continuity in generality that was, to our knowledge, not seen before. The aforementioned statements can be adapted to continuity of roots and poles for rational functions with respect to a suitable extension of the ultrametric from the polynomial ring to the rational function field.

Streszczenie

Badane są powiązania pomiędzy wielomianami, które są blisko siebie, tj. których współczynniki są blisko siebie w topologii indukowanej przez waluację. Podstawowa zasada ciągłości pierwiastków mówi, że bliskość wielomianów implikuje bliskość ich pierwiastków względem odpowiedniego doboru w pary. Na zasadzie tej buduje się dalsze rezultaty poprzez sprecyzowanie wartości ograniczającej ultrametryczną odległość pomiędzy wielomianami oraz pomiędzy ich odpowiednimi pierwiastkami. Pomiędzy wielomianami, które są bisko siebie, istnieją dalsze powiązania. Na przykład, nierozkładalne czynniki tychże wielomianów generują izomorficzne rozszerzenia nad ciałem bazowym, a odpowiednie rozszerzenia generowane przez całe wielomiany posiadają te same niezmienniki z teorii ramifikacji. Ponadto, jeśli wielomiany są blisko siebie, to ich Wielokąty Newtona są identyczne na pewnym odcinku. Szczegółowo badamy ten aspekt ciągłości poprzez wykorzystanie znanego twierdzenia, które łączy wartości pierwiastków wielomianu ze stopniami nachylenia Wielokąta Newtona. Pozwala nam to na precyzyjne rezultaty na temat wartości pierwiastków wielomianów, które są blisko siebie, co z kolei implikuje rezultaty nieznane dotychczas w takiej ogólności, jak te wymienione w dysertacji. Powyższe twierdzenia mogą być zaadaptowane do ciągłości pierwiastków i biegunów funkcji wymiernych względem odpowiedniego rozszerzenia ultrametryki z pierścienia wielomianów do ciała funkcji wymiernych.