Modified uncertainty relations from classical and quantum gravity

Summary

A good hundred years after the necessity for a quantum theory of gravity was acknowledged by Albert Einstein, the search for it continues to be an ongoing endeavour. Nevertheless, the field still evolves rapidly as manifested by the recent rise of quantum gravity phenomenology supported by an enormous surge in experimental precision-In particular, the minimum length paradigm ingrained in the program of generalized uncertainty principles (GUPs) is steadily growing in importance.

The present thesis is aimed at establishing a link between modified uncertainty relations, derived from deformed canonical commutators, and curved spaces - specifically, GUPs and nontrivial momentum space as well as the related extended uncertainty principles (EUPs) and curved position space. In that vein, we derive a new kind of EUP relating the radius of geodesic balls, assumed to constrain the wave functions in the underlying Hilbert space, with the standard deviation of the momentum operator, suitably made compatible with the curved spatial background. This result is gradually generalized to relativistic particles in curved spacetime in accordance with the 3+1 decomposition, thereby relating scmiclassical gravity with the EUP.

The corresponding corrections to the relation in flat space depend on the Ricci scalar of the effective spatial metric, the lapse function and the shift vector, as well as covariant derivatives thereof. The ensuing inequality is evaluated in Rindler, de Sitter and Schwarzschild backgrounds, at lowest approximation leading to identical effects, as well as to rotating geometries like Kerr black holes and their analogues in higher-order theories of gravity.

In a sense pursuing the inverse route, we find an explicit correspondence between theories yielding a GUP, possibly including a noncommutative geometry, and quantum dynamics set on non-Euclidean momentum space. Quantitatively, the coordinate non-commutativity translates to momentum space curvature in the dual description, allowing for an analogous transfer of constraints from the literature. However, a commutative geometry does not imply trivial dynamics; the corresponding types of GUP lead to a flat momentum space, described in terms of a nontrivial basis, permitting the import of further bounds.

Finally, we find a formulation of quantum mechanics which proves consistent on the arbitrarily curved cotangent bundle. Along these lines, we show that the harmonic oscillator can, given a suitable choice of operator ordering, not be used as a means to distinguish between curvature in position and momentum space, thereby providing an explicit instantiation of Bom reciprocity in the context of curved spaces.

Streszczenie

Chociaż minęło ponad sto lat od momentu, w którym Albert Einstein uznał konieczność stworzenia kwantowej teorii grawitacji, to poszukiwanie jej ostatecznego kształtu wciąż pozostaje wyzwaniem. Dziedzina ta nadal dynamicznie się rozwija czego dowodem jest ostatni wzrost badań w zakresie fenomenologii kwantowej grawitacji wspierany przez niesamowitą poprawę dokładności eksperymentów w mechanice kwantowej. W szczególności, coraz większą rolę odgrywa postulat istnienia minimalnej długości fizyce mający ścisły związek z ogólnioną zasadą nieoznaczoności (UZN) Heisenberga.

Niniejsza rozprawa ma na celu ustalenie związków pomiędzy zmodyfikowanymi zasadami nieoznaczoności wywodzącymi się ze zdeformowanych komutatorów kanonicznych a zakrzywionymi przestrzeniami - w szczególności z UZN i nietrywialną przestrzenią pędu - a także związanymi z nimi rozszerzonymi zasadami nieoznaczoności (RZN) i zakrzywioną przestrzenią położenia. W tym duchu wprowadzamy nowy rodzaj RZN, wiążący promienie kul geodezyjnych stosowanych do ograniczania funkcji falowych z przestrzeni Hilberta, z odchyleniem standardowym operatora pędu odpowiednio dostosowanego do zakrzywionej przestrzeni tła. Wynik ten stopniowo jest uogólniany na cząstki relatywistyczne w zakrzywionej czasoprzestrzeni w formaliźmie ADM rozwarstwienia 3+1, wiążąc tym samym półklasyczną grawitację z RZN.

Odpowiednie poprawki do RZN w płaskiej przestrzeni zależą od skalara Ricciego efektywnej metryki przestrzennej, funkcji poklatkowej (lapse) i wektora przesunięcia (shift), a także od ich pochodnych kowariantnych. Wynikająca z tego nierówność RŻN jest wyliczana w najniższym rzędzie rachunku zaburzeń dla czasoprzestrzeni Rindlera, de Sittera i Schwarzsęhilda prowadząc do podobnych jakościowo rezultatów, oraz dla rotujących czasoprzestrzeni czarnych dziur Kerra i ich odpowiedników w teoriach grawitacji wyższego rzędu.

Stosując w pewnym sensie podejście odwrotne, znajdujemy jawną korespondencję pomiędzy teoriami prowadzącymi do UZN, prawdopodobnie obejmującymi geometrię nieprzemienną, a dynamiką kwantową opartą na nieeuklidesowej przestrzeni pędu. Ilościowo, nieprzemienność współrzędnych przekłada się na krzywiznę przestrzeni pędu w opisie dualnym, co pozwala na analogiczne przeniesienie znanych z literatury ograniczeń dla UZN, na ograniczenia dla przestrzeni pędu.

Ciekawe jest, źe geometria przemienna nie implikuje trywialnej dynamiki - odpowiadające jej typy UZN prowadzą do płaskiej przestrzeni pędów, opisanej w kategoriach nietrywialnej bazy, pozwalającej na dalszy import ograniczeń. W końcu znajdujemy sformułowanie mechaniki kwantowej, które okazuje się spójne w przypadku dowolnie zakrzywionej wiązki kostycznej. W tym sformułowaniu pokazujemy, że przy właściwym doborze uporządkowania operatorów, oscylator harmoniczny nie może być użyty do rozróżnienia krzywizny w przestrzeni położenia i w przestrzeni pędu, co zapewnia klarowny przykład dualności Borna w kontekście zakrzywionych przestrzeni.

Tytuł
Modified uncertainty relations from classical and quantum gravity
Twórca
Wagner Fabian
Promotor
prof. Dąbrowski Mariusz P.
Promotor
dr Gohar Hussain (promotr pomocniczy)
Dyscyplina naukowa
Dziedzina nauk ścisłych i przyrodniczych; Nauki fizyczne
Instytucja
Instytut Fizyki
Miejsce wydania
Szczecin
Data
2022
Język
angielski
Opis
Informacja w BIP: https://bip.usz.edu.pl/doktorat-habilitacja/16630/fabian-lszlo-konstantin-wagner
Opis
Ze względu na konieczność ochrony danych osobowych, strona tytułowa została okrojona
Prawa autorskie
Rozprawa doktorska dopuszczona do publicznej obrony, udostępniona na podstawie Zarządzenia nr 274/2021 Rektora Uniwersytetu Szczecińskiego
Kategorie
Rozprawy doktorskie
Data udostępnienia4 sie 2022, 11:37:42
Data mod.10 sie 2022, 10:27:57
DostępPubliczny
Aktywnych wyświetleń0