Asymptotics analysis and analytic tools for certain types of C0-semigroups

Streszczenie

Poniższa dysertacja została napisana z zamiarem zbadania własności asymptotycznych pewnej klasy nieograniczonych C0 -półgrup oraz, niezależnie, rozszerzenia istniejących wyników dotyczących równań różniczkowych z opóźnieniem typu neutralnego z przypadku Cn na przypadek nieskończeniewymiarowy
W pierwszej części dysertacji zostało udowodnione, że dla C0-półgrupy {T(t)}t>0 o generatorze A, przy pewnych założeniach, zachodzi
lim
l|T (t)A-1|| f (t)
= 0 ,
gdzie funkcja rzeczywista f(t) jest w pewnym sensie podobna do normy półgrupy | T(t)| . Założenia dotyczą zachowania asymptotycznego obcięć półgrupy do pewnych rzutów Riesza stowarzyszonych z operatorem A. Dla odpowiednio regularnych C0-półgrup, funkcja f(t) może być równa | T(t)| . W tym wypadku uzyskany wyniki oznacza, że rozwiązania klasyczne odpowiedniego zagadnienia Cauchy'ego rosną wolniej (albo zanikają szybciej) niż norma półgrupy. Opisane wyniki poszerzają już istniejące, głównie poprzez dopuszczanie lokalizacji widma na osi {z e C : Re(z) = w0}.

W drugiej części dysertacji rozważane jest równanie różniczkowe

Z0    /»0

A2(3)ż(t + 3)d3 + J A3(ff)z(t + ff)d3, z(t) e H

gdzie H jest dowolną ośrodkową przestrzenią Hilberta a A, A2(3), A3(0) są operatorami ograniczonymi o pewnych szczególnych własnościach. Opisane wyniki poszerzają wyniki już istniejące które zachodzą dla przypadku skończeniewymiarowego. Tymi wynikami są, między innymi, generowanie C0-półgrupy poprzez operator liniowy A reprezentujący powyższe równanie w przestrzeni H x L2 ([-1,0]; H) oraz istnienie bazy Riesza skonstruowanej przy użyciu rzutów Riesza operatora A.

Summary

The object of this study was the analysis of asymptotic behavior of a certain class of unbounded C0 -semigroups and, independently, the extension of some existing results concerning the delay differential equations of the neutral type in Cn to the infinite-dimensional case.
In the first part of the dissertation, we prove that for the C0-semigroup {T(t)}t>0 with the generator A having some particular asymptotic properties when truncated to the images of the Riesz projections of the operator A associated with certain subsets of the spectrum,
lim
l|T (t)A-1|| f (t)
= 0 .
The real function f(t) in some sense approximates the norm of the semigroup | T(t)| and, for regular enough C0-semigroups, the function f(t) can equal | T(t)| . This property means that the classical solutions of the corresponding Cauchy problem grow slower (or decay faster) than the norm of the semigroup. Our results extend some existing ones, mainly by allowing the spectrum of the generator to be located on the the axis {z e C : Re(z) = w0}.
In the second part of the dissertation we consider the differential equation

00 A2(3')z(t + 3)d3 + J
Z0    /»0

A2(3)ż(t + 3)d3 + j A3(3)z(t + 3)d3, z(t) e H
where H is an arbitrary separable Hilbert space and A, A2(3),A3(3) are bounded linear operators with some particular properties. We extend the results which hold for the finite-dimensional case including the generation of a C0-semigroup by the linear operator A representing the above equation and the existence of a Riesz basis of the corresponding space H x L2 ([-1,0]; H) constructed from the Riesz projections of the operator A.