Dynamiczne zeta funkcje typu Reidemeistera

Streszczenie

Głównym przedmiotem badań w niniejszej pracy są dynamiczne zeta funkcje typu Reidemeistera i ich własności.

Dla automorfizmów nieskończenie generowanych beztorsyjnych grup abelowych będących podgrupami w    1, endomorfizmów grup abelowych Z?, d 1, gdzie Z^ oznacza grupę p-adycznych liczb całkowitych oraz dla odwzorowań ciągłych przestrzeni topologicznej X w siebie wyprowadzono wzory na liczby Reidemeistera oraz wykazano dychotomię Pólyi-Carlsona pomiędzy wymiernością a istnieniem brzegu naturalnego zeta funkcji Reidemeistera.

W przypadku zeta funkcji Reidemeistera koincydencji oswojonej pary komutujących endomorfizmów nieskończenie generowanych beztorsyjnych grup abelowych będących pod grupami w d 1 wyprowadzono wzory na liczby Reidemeistera koincydencji i została wykazana dychotomia Pólyi-Carlsona.

W przypadku oswojonej pary endomorfizmów skończenie generowanej beztorsyjnych grup nilpotentnych udowodniono wzory na liczby Reidemeistera koincydencji oraz wykazano wymiemość zeta funkcji Reidemeistera koincydencji.

Ponadto udowodniono wymierność oraz wyprowadzono równanie funkcyjne dla dynamicznych zeta funkcji teorii reprezentacji endomorfizmów skończenie generowanych grup  abelowych, endomorfizmów skończenie generowanych beztorsyjnych grup nilpotentnych, endomorfizmów grup ze skończonymi ęi-nieprzywiedlnymi podprzestrzeniami odpowiedniej przestrzeni unitamo-dualnej oraz automorfizmów grup krystalograficznych z holono-mią diagonalną Z/2Z. Dla okresowych automorfizmów grupy dynamiczna zeta funkcja teorii reprezentacji została przedstawiona jako skończony iloczyn pierwiastków z funkcji wymiernych.

Zbadany został również związek między zeta funkcją Reidemeistera a dynamiczną zeta funkcją teorii reprezentacji endomorfizmu obciętego do podgrupy H grupy G oraz endomorfizmu indukowanego na grupie ilorazowej G/N, gdzie N oznacza podgrupę normalną składającą się z elementów nilpotentnych grupy G.

Summary

The main subject of study in this dissertation is Reidemeister-type zeta functions and their properties.

For automorphisms of infinitely generated torsion-free abelian groups which are sub-groups in d 1, endomorphisms of abelian groups d>l, where Z^ denotes the group of p-adic integers, and for continuous maps of the topological space X into itself, formulas for Reidemeister numbers are derived. Moreover, the Pólya-Carlson dichotomy between rationality and the existence of a natural boundary of the Reidemeister zeta func-tion is proved in these cases.

In the case of the coincidence Reidemeister zeta function of a tamę pair of commutative endomorphisms of infinitely generated torsion-free abelian groups which are subgroups in dXź 1, the formula for coincidence Reidemeister numbers were derived and the Pólya-Carlson dichotomy was proved.

In the case of a tamę pair of finitely generated endomorphisms of torsion-free nilpotent groups, formula for coincidence Reidemeister numbers are obtained and the rationality of the coincidence Reidemeister zeta function is demonstrated.

In addition, the rationality was proved and the functional equation was derived for the representation theory dynamical zeta functions of endomorphisms of finitely generated abelian groups, endomorphisms of finitely generated torsion-free nilpotent groups, endo-morphisms of groups with finite ę5-irreducible subspaces of the corresponding unitary-dual space, and automorphisms of crystallographic groups with diagonal holonomy Z/2Z. For periodic automorphisms of a group, the representation theory dynamical zeta function was represented as a finite product of roots of rational functions.

The relationship between the Reidemeister zeta function and the representation theory dynamical zeta function of the endomorphism restricted to a subgroup H of a group G and the endomorphism induced on the ąuotient group G/N, where N denotes the normal subgroup consisting of nilpotent elements of the group G, is also investigated.